Em uma panela grande, coloque o pato inteiro e adicione a água. Leve ao fogo alto até ferver, removendo a espuma que se forma na superfície.
Adicione a cebola, o alho, as cenouras, o salsão, a folha de louro, o tomilho e o alecrim. Tempere com sal e pimenta-do-reino a gosto. Cozinhe em fogo baixo por cerca de 1 hora ou até que o pato esteja macio.
Retire o pato da panela e desfie a carne, descartando a pele e os ossos. Volte a carne desfiada para a sopa, adicione o vinagre e o arroz. Cozinhe por mais 20 minutos ou até que o arroz esteja macio. Sirva quente, guarnecido com salsinha picada.